文章大部分参考这里，加上自己的一点理解而已

什么是极限

构想下面一个画面：

http://betterexplained.com/wp-content/uploads/limit_intro/soccer-limits.jpg

如图所示，4.00时刻的画面由于缓冲跳过了。我们无法得知这个时刻球的位置，但是我们可以作出一个估计：

球在3:59时和4:01时球的位置之间的某个位置上

由于现实世界中球的轨迹是连续的，所以这是一个很不错的估计。

但是！如果在3:599时球突然被外星人以极快的速度吸走，在4:001时按照原来的速度和方向放回来，那么我们的估计就不正确了（尽管这不太可能发生，但是必须考虑）。

那么，如果我们把镜头放慢，慢到看得清外星人的存在，那么我们可以重新做一个更准确的估计。例如我们可以通过慢镜头，估计球在4:00的位置为“3:59.999和4:00.001的位置之间”。

假设3:59时球在9.9米处，4:01时球在10.1米处，我们可以换一种说法：

在4:00时，估计球在10米处。这个估计由“缩放级别(3:59-4:01)"来保证正确性。不同程度的正确性由不同的“缩放级别”来保证

可以感性地得知，在例子中，当这个缩放级别越小时，我们便越有信心估计球的位置（如果在某个级别中发现发现球的位置发生了意外的变化，那么便很有可能要推翻10m的估计，要进一步缩小级别来确定球的位置）。

对数学极限定义的另一种理解

理解了上面的例子后，我们来看一看官方对极限的定义（official definition）:

lim(x->c) f(x) = L

means for all real ε > 0 there exists a real δ > 0 such that for all x with 0 < |x − c| < δ, we have |f(x) − L| < ε (对于所有ε>0，存在一个δ > 0，使得对于所有x满足0 < |x − c| < δ，都有|f(x) − L| < ε)

可以按照以下的方式去理解：

lim(x->c) f(x) = L

    //当我们充满信心地估计f(c) = L时，我们的意思是：

for all real ε > 0

    //对于我们考虑所有的误差范围ε（error margin）（例如+-0.1米），

there exists a real δ > 0

    //存在一个“缩放级别”δ（+-0.1秒），

such that for all x with 0 < |x − c| < δ, we have |f(x) − L| < ε

    //使得估计值总是在这个误差范围内。

也就是说，如果这个估计是正确的（或者说无限有信心的），那么对于一个任意小误差范围ε，总可以找出一个缩放级别δ，令到与c距离小于δ的x（0 < |x − c| < δ），都满足f(x)的值和L之间的距离在误差范围ε内。

极限存在的必要条件是“对于任意小的误差范围总可以找到相应的缩放级别”，这个条件保证了不会漏掉“中途被外星人吸走又放回去”的情况。

也就是说：

极限（Limits）是一种提供保证准确估计的策略（Limits are a strategy for making confident predictions.）

证明极限存在

举一个例子：

例子

证明x=2时极限存在

我们不可以直接代入2来说明极限存在并且为5，因为(x – 2)作为分母，其值不能为0。当时当 x != 2时，我们可以将其代入，然后消掉分子和分母的(x – 2)，得到f(x) = 2x + 1。

这时我们作出一个估计，当x=2时，f(x)的值为5。

我们无法得知f(2)的值，但是我们可以证明f(2)=5的估计是无限准确的。

假设允许的误差范围为+-1.0，我们有：

|f(x) - 5| < 1.0

=> |2x + 1 -5| < 1.0

=> |2x - 4| < 1.0

=> |x - 2| < 0.5

当x在0.5到2的区间内取值时，所有的f(x)都满足|f(x) – 5| < 1.0。

下一步我们加入error tolerance (ε) 令到这个误差区间变成任意的：

|x - 2| < 0.5 · ε

由于x – 2是单调而且连续的，所以总能找到一个x的范围，使得范围内的所有x和2的距离在+-0.5 · ε内，于是我们的估计可以无限地准确了。

函数连续（A function is continuous）

当我们说一个函数在某个区间内连续（continuous）的时候，是指它在这个区间内处处可以准确地估计，也就是：

lim(x->c) f(x) = f(c)

ps:这里这是一篇通俗的传统的解释极限的文章